Torneiras juntas ou separadas, mas enchendo um certo tanque no tempo

Duas torneiras juntas enchem um tanque em 3:45h. Uma das torneiras sozinha enche esse tanque em 4:00 horas a menos que a outra. Quantas horas gastariam cada uma das torneiras para encher o mesmo tanque?

A) 6h e 10h

B) 5h e 9h

C) 7h e 11h

D) 8h e 12h

E) 4:45h e 8:45h





Solução:

Inicialmente, vamos supor que nas torneiras exista água pois, não sendo assim, não haveria solução possível. É que às vezes, pelas torneiras não passa água e todos já sabemos disto!

Sejam T1 e T2 as torneiras em questão.

Pelo enunciado, [T1 (+) T2] (as duas juntas) enchem o tanque em 3:45h.

Vamos transformar 3:45h na forma decimal.
Ora, 3:45h = 3 horas e 45 minutos = 3h + 45 min = 3h + (45/60) h = 3h + 0,75h = 3,75h



Nota: nem é preciso lembrar que 1 h = 60 min, o que justifica 45/60 = 0,75h.



Seja x o número de horas que a torneira T1 encheria o tanque.

Nestas condições, a torneira T2 encheria o tanque em (x + 4) horas pois isto significa que T1 encheria o tanque 4 horas a menos do que T2.


Estes tipos de problema são facilmente resolvidos adotando a redução a uma hora, ou seja, calcular o volume de água preenchido em uma hora = 1h.


Seja V o volume do tanque.

Poderemos escrever então, as seguintes regras de três:



Para a torneira T1:T1: x (h) ....................... V1 (h)......................... V1 , onde V1 é o volume enchido pela torneira T1 em 1h.

Daí tiramos V1 = V / x onde V1 é o volume preenchido em 1h pela torneira T1.

Para a torneira T2 :T2 : (x + 4) (h) ..................... V1 (h) ..................... V2 , onde V2 é o volume enchido pela torneira T2 em 1h.

Daí tiramos V2 = V / (x + 4) onde V2 é o volume enchido pela torneira T2 em 1h.

Já sabemos que as duas torneiras juntas enchem o tanque em 3,75h.

É óbvio que em uma hora, as duas torneiras juntas encherão o volume V1 + V2 = V / x + V / (x + 4). Portanto, podemos escrever a seguinte regra de três:3,75 h ................................. V1,00 h ................................. V1 + V2Então, poderemos escrever: 3,75 (V1 + V2) = 1,00 . V3,75V1 + 3,75V2 = VSubstituindo os valores de V1 e V2 obtidos acima, vem:3,75 (V / x) + 3,75(V / (x + 4)) = VColocando V em evidencia, vem:V[3,75 / x + 3,75 / (x + 4)] = 1.VSimplificando o termo comum V, fica:3,75 / x + 3,75 / (x + 4) = 1Vamos então resolver a equação acima:Efetuando a adição indicada no primeiro membro:Daí conclui-se que 3,75(x + 4) + 3,75x = x(x + 4)Efetuando a multiplicação indicada no segundo membro da igualdade, fica:3,75(x + 4) + 3,75x = x2 + 4xIgualando a zero, vem:x2 + 4x – 3,75(x + 4) – 3,75x = 0Portanto,x2 + 4x – 3,75x – 15 – 3,75x = 0Simplificando, vem:x2 – 3,50x – 15 = 0 , que é uma equação do segundo grau .Portanto, resolvendo pela Fórmula de Bhaskara:Logo as raízes serão: x’ = (3,50 + 8,50) / 2 = 6 ou x’’ = (3,50 – 8,50) / 2 = -2,50Lembrando que x é o número de horas que a torneira T1 encheria o tanque, vemos que a segunda raiz não serve ao problema e portanto x = 6 h.Como a torneira T2 leva (x + 4) horas para encher o mesmo tanque, teremos x + 4 = 6 + 4 = 10 h. Portanto, a resposta do problema proposto é:Uma das torneiras gastaria 6 horas para encher o tanque sozinha e a outra gastaria 10 horas, o que nos leva tranqüilamente à alternativa A.