PRODUTOS NOTÁVEIS

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais freqüente.



QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS



Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)

_______________= a² + ab+ ab + b²

_______________= a² + 2ab + b²



Conclusão:

(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²



Exemplos :



1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²



2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²



Exercícios



1) Calcule

a) (3 + x)²_______________b) (x + 5)²________________c) ( x + y) ²

d) (x + 2)²_______________e) ( 3x + 2)²_______________f) (2x + 1)²

g) ( 5+ 3x)²______________h) (2x + y)²_______________i) (r + 4s)²

j) ( 10x + y)²_____________l) (3y + 3x)²_______________m) (-5 + n)²

n) (-3x + 5)²_____________o) (a + ab)²________________p) (2x + xy)²

q) (a² + 1)²______________r) (y³ + 3)²________________s) (a² + b²)²

t) ( x + 2y³)²_____________u) ( x + ½)²_______________v) ( 2x + ½)²

x) ( x/2 +y/2)²



RESPOSTAS



a) 9 + 6x +x²_______________m) 25 -10n + n²

b) x² + 10x + 25____________n) 9x² - 30x + 25

c) x² + 2xy +y²_____________o) a² + 2a²b + a²b²

d) x² + 4x + 4______________p) 4x² + 4xy + x²y²

e) 9x² + 12x +4_____________q) (a²)² + 2a² + 1

f) 4x² + 4x + 1_____________r) (y³)² + 6y³ + 9

g) 25 + 30x + 9x²___________s) (a²)² + 2a²b² + (b²)²

h) 4x² + 4xy + y²___________t) x² + 4xy³ + 4(y³)²

i) r² + 8rs + 16s²___________u) x² +x + 1/4

j) 100x² + 20xy + y²________v) 4x² + 2x + 1/4

l) 9y² + 18xy + 9x²_________x) x²/4 + 2xy?4 + y²/4







QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS



Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)

______________= a² - ab- ab + b²

______________= a² - 2ab + b²



Conclusão:

(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²



1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²



2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²





Exercícios



1) Calcule

a) ( 5 – x)²______________b) (y – 3)²__________________c) (x – y)²

d) ( x – 7)²______________e) (2x – 5) ²_________________f) (6y – 4)²

g) (3x – 2y)²____________h) (2x – b)²__________________i) (5x² - 1)²



RESPOSTAS



a) 25 – 10x + x²_____________e) 4x² - 20 x + 25

b) y² - 6y + 9_______________f) 36y² - 48y + 16

c) x² - 2xy + y²_____________ g) 9x² - 12xy + 4y²

d) x² - 14x + 49_____________h) 4x² - 4xb + b²

i) 25(x²)² - 10x² + 1









PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS



(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²



conclusão:

(primeiro termo)² - (segundo termo)²



Exemplos :



1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25

2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²





EXERCÍCIOS



1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:



a) (x + y) . ( x - y)

b) (y – 7 ) . (y + 7)

c) (x + 3) . (x – 3)

d) (2x + 5 ) . (2x – 5)

e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2)

f) (5x + 4 ) . (5x – 4)

g) (3x + y ) (3x – y)

h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x)

i) (2x + 3y) . (2x – 3y)

j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x)





CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

.

Exemplo



a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²

------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)

-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³



b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²

-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)

------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³

------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³



c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³

-------------- = x³ + 15x² + 75x +125



d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³

--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³

--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³





EXERCÍCIOS



1) Desenvolva



a) ( x + y)³

b) (x – y)³

c) (m + 3)³

d) (a – 1 )³

e) ( 5 – x)³

f) (-a - b)³

g) (x + 2y)³

h) ( 2x – y )³

i) (1 + 2y)³

j) ( x – 2x)³

k) ( 1 – pq)³

l) (x – 1)³

m) ( x + 2 )³

n) ( 2x – 1)³

o) ( 2x + 5 )³

p) (3x – 2 )³