Logaritmos - Exercícios resolvidos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - LOGARÍTMOS

1) Construa o gráfico das funções.

Solução. Atribuindo alguns valores para x > 0 em (a) e x > 1 em (b), temos:

a) f(x) = log₃ x

b) f(x) = log₂ (x – 1)

OBSERVAÇÕES:

1)     O 1º gráfico NÃO intercepta o eixo Y. Isto é, não há valores de “x” tal que f(x) = 0.

2)     O 2º gráfico NÃO intercepta o eixo Y. Mais que isso! A condição (x – 1) > 0 indica que a curva margeia a reta vertical x = 1, sem tocá-la.

2) Resolva as equações.

Solução. Depois de encontradas as soluções devem obedecer às condições de existência dos logaritmos. (log_aN existe se: 0 < a ≠ 1 e N > 0).

a) log₂ (2x – 5) = log₂3   

       

b) log₃ (3 – x) = log₃ (3x + 7)           

       

 c) log₅ (2x – 3) = 2

d) log₂ (x² + x – 4) = 3        

                                                     

e     e) 2.log x = log (2x – 3) + log (x + 2)      

                       

     f) log₄ x + log_x 4 = 2       

                 

3)   Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças.

     

  Solução. Para resolver essas questões é necessário lembrar.

a)     Se a > 1, então a função logarítmica f(x) = log_ax é crescente: x₁ < x₂ então f(x₁) < f(x₂).

b)     Se 0 < a < 1, então a função logarítmica f(x) = log_ax é decrescente: x₁ < x₂ 

então os valores  são f(x₁) > f(x₂).

4) 4)

4)  O pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de H₃O⁺.

 Qual o pH de uma solução cuja concentração de H₃O⁺ é 4,5.10^-5 mol /l ?

Solução. Substituindo os valores indicados, temos:

5) Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma 

taxa de 4% ao ano.

 (Meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, 

metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre.)

Solução. 

A expressão para a situação descrita pode ser representada por: Q(t) = Q₀.e^{- rt}.

6) Uma pessoa coloca R$ 1000,00 num fundo de aplicação que rende, em média, 1,5% a.m. 

Em quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 1300,00? (Use a calculadora)

Solução. Utilizando a teoria de matemática financeira, temos:

7) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter,

 é um número que possui variação entre I = 0 até I = 8,9 para maior  terremoto conhecido.

 I é dado pela fórmula: 

na qual E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E₀ = 7.10^-3 kwh.

a)     Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?

Solução. Substituindo os valores, temos:

b)     Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a

 energia liberada?

Solução. Substituindo os valores com I = 9, temos:

8) São necessários 5 anos para que o cobalto-60 perca a metade de sua radioatividade. 

Qual é a porcentagem de sua atividade original que permanecerá no fim de 20 anos?

Solução. 

A função será:

 Repare que N(5) = N₀/2. Ao longo de 20 anos, temos:

“Se deres um peixe a um homem faminto, vais alimentá-lo por um dia. 

Se o ensinares a pescar, vai alimentá-lo toda a vida.”

Lao-Tsé